數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)的應(yīng)用
數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)的應(yīng)用【1】
【摘 要】數(shù)學(xué)方法是科學(xué)方法中重要的一種，它不僅被物理學(xué)廣泛應(yīng)用，而且也成為其它眾多自然學(xué)科的重要方法。
高中物理電磁學(xué)內(nèi)容多、難度大，且在高考理綜考試中所占比重較大，這些內(nèi)容涉及到的試題經(jīng)常要用到一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，那么如果能夠靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來(lái)處理電磁學(xué)問(wèn)題，將能起到事半功倍的效果。
本文就這個(gè)問(wèn)題談?wù)労瘮?shù)法、不等式法、圖象法及幾何法等在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法;高中物理;電磁學(xué)
1.引言
國(guó)家高考物理科考試大綱明確提出考生應(yīng)具備的第四種能力“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力：能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力。
所謂數(shù)學(xué)方法，就是在科學(xué)技術(shù)工作中，把客觀事物的狀態(tài)關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)言的方法。
下面就以電磁學(xué)為例談?wù)剮追N數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。
2.函數(shù)法
在電磁學(xué)問(wèn)題中，經(jīng)常需要確定兩個(gè)物理量間的變化所對(duì)應(yīng)關(guān)系(包括極值問(wèn)題)，這就需要利用函數(shù)思想來(lái)完成，同時(shí)函數(shù)也是進(jìn)行物理推導(dǎo)判斷的重要數(shù)學(xué)工具。
在高中物理電磁學(xué)中主要用到的是一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和三角函數(shù)。
2.1一次函數(shù)的應(yīng)用
在電磁學(xué)問(wèn)題中用到的一次函數(shù)有形如y=ax或y=ax/(ax+b)a≠0，b≠0形式。
一次函數(shù)y=ax描述的是y與x之間呈線性關(guān)系，比如在靜電場(chǎng)中討論F與E、U與d、Q與U等兩個(gè)量間的關(guān)系用的就是這種函數(shù)。
觀察函數(shù)y=ax/(ax+b(a≠0，b≠0))不難發(fā)現(xiàn)，分子分母都有未知量x(自變量)，如果x增加(減小)，則分子、分母都同時(shí)增加(減小)，這樣無(wú)法確定因變量y的變化情況。
但是如果把分子、分母都同時(shí)除以x，函數(shù)就變?yōu)閥=a/(a+b/x)關(guān)系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。
這種一次函數(shù)在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類(lèi)似問(wèn)題中經(jīng)常有用到。
例1：設(shè)一個(gè)閉合電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當(dāng)R發(fā)生變化時(shí)，U外如何變化?
分析與解：這類(lèi)問(wèn)題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir(間接法，較易，本文不做討論)求解，也可用部分電路歐姆定律(直接法)求解。
如果用直接法如何討論呢?根據(jù)部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/(R+r)②，把②代入①有U外=ER/(R+r)，這就轉(zhuǎn)化成了形如一次函數(shù)y=ax/(ax+b)，故U外=ER/(r+R)=E/(1+r/R)可見(jiàn)U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。
因此當(dāng)外電路斷開(kāi)即R→∞時(shí)，有U外=E，此為直接測(cè)量法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)的依據(jù);當(dāng)外電路短路時(shí)即R→0，故。
U外=0。
2.2一元二次函數(shù)的應(yīng)用
在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規(guī)律以及討論滑動(dòng)變阻器分壓接法電路中■或■示數(shù)變化情況等類(lèi)似問(wèn)題，可以把電阻這個(gè)動(dòng)態(tài)變化物理量轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式，將這個(gè)函數(shù)進(jìn)行配方整理有：y=a(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a，可見(jiàn)當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y有最值(4ac-b2)/4a。
當(dāng)a>0時(shí)，y有最小值，當(dāng)a<0時(shí)，y有最大值。
例2：如圖1所示，電源電動(dòng)勢(shì)E=6V，內(nèi)阻為r=1?萃，滑動(dòng)變阻器R的總阻值為11?萃，固定電阻R0=3?萃，求當(dāng)滑動(dòng)變阻器從a到b過(guò)程中，■的讀數(shù)范圍。
分析與解：令■讀數(shù)I，并設(shè)ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)電路的電流分配關(guān)系：I=6/(R并+11-x+r)×3/(x+3)=18/(-(x-6)2+72)
可見(jiàn)當(dāng)x=0時(shí)，Imax=0.5A，x=6?萃時(shí)，Imax=0.25A，故■示數(shù)范圍為從0.25A到0.5A連續(xù)變化
3.不等式法
不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問(wèn)題，如在討論等量同種電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)大小變化、某些并聯(lián)電路中■或■示數(shù)變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過(guò)程中庫(kù)侖力大小變化問(wèn)題中，如果條件滿(mǎn)足均可以運(yùn)用重要不等式a+b≥2■(a、b均為正數(shù))或a+b+c≥33■討論最值：當(dāng)和有定值，則積有最大值;反之當(dāng)積有定值，則和有最小值。
例3.如圖3所示，已知R1=2?萃，R2=3?萃，滑動(dòng)變阻器的最大值R3=5?萃，則當(dāng)滑動(dòng)片P從a滑到b過(guò)程中，電流表示數(shù)的最小值為多少?
分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數(shù)有最小值時(shí)，外電路電阻有最大值，設(shè)ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/(2+x)+1/(3+(5-x))，化簡(jiǎn)可得R并=(2+x)(8-x)10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當(dāng)且僅當(dāng)a=b即2+x=8-x亦即x=3?萃時(shí)ab≤(a+b)/4，故有(2+x)(8-x)≤(102/4)?萃=25?萃，所以■示數(shù)最小值Imin.=2A。
4.幾何法
在處理靜電場(chǎng)中某帶電體受到庫(kù)侖力、重力、拉力等三個(gè)共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí)，如果直接運(yùn)用平衡條件結(jié)合力的分解(正交分解)處理該類(lèi)問(wèn)題，過(guò)程非常繁瑣，這里可充分運(yùn)用帶電體(質(zhì)點(diǎn))所受力的矢量三角形與對(duì)應(yīng)另一個(gè)由長(zhǎng)度組成的純標(biāo)量三角形相似，這就是應(yīng)用了平衡條件中相似三角形法，然后根據(jù)題目條件可在短時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確解決要討論的問(wèn)題。
例5：一根絕緣細(xì)線下拴一帶電小球A，細(xì)線上的上端固定在天花板上，在懸點(diǎn)正下方某適當(dāng)位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時(shí)，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示。
現(xiàn)緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關(guān)A球所受力的變化，下列說(shuō)法正確的是( )
A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大
C.庫(kù)侖力逐漸增大 D.庫(kù)侖力大小可能不變
分析與解：設(shè)懸線長(zhǎng)為L(zhǎng)，如圖7所示，掛在細(xì)線下端的小球在重力、細(xì)線拉力和電荷之間的庫(kù)侖斥力這三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)。
由平衡條件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見(jiàn)細(xì)線的拉力T=G不變，而庫(kù)侖力隨著AB的增大而增大。
故本題正確答案為AC。
6.結(jié)論
數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中應(yīng)用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時(shí)在解決某些復(fù)雜電磁學(xué)問(wèn)題時(shí)可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。
因此，在解題時(shí)可通過(guò)聯(lián)想、數(shù)理結(jié)合、數(shù)形結(jié)合來(lái)靈活地選擇合適的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決電磁學(xué)問(wèn)題，這將對(duì)提高解決電磁學(xué)問(wèn)題的能力大有裨益。
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數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用【2】
我們研究數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用不僅是為了提高學(xué)生的成績(jī)，更是為了提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力，隨著新課程的深入，學(xué)科之間的貫穿不斷加強(qiáng)，數(shù)學(xué)與物理的整合也日益緊密。
新的物理學(xué)科的考試說(shuō)明要求學(xué)生加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題的能力，如利用函數(shù)關(guān)系、不等式關(guān)系、判別式法求極植問(wèn)題，將物理現(xiàn)象抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式求軌跡等。
如能適當(dāng)、巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，往往可以達(dá)到另辟奚徑、曲徑通幽的效果。
掌握科學(xué)的方法比掌握科學(xué)知識(shí)更重要。
在物理教學(xué)中，科學(xué)思維方法是學(xué)生獲得知識(shí)，提高能力的橋和船，它能為學(xué)生的成功創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)和途徑。
一、用數(shù)學(xué)方法定義物理概念，推導(dǎo)物理定律、原理
數(shù)學(xué)是定義物理概念表達(dá)物理規(guī)律的最簡(jiǎn)潔、最精確、最概括、最深刻的語(yǔ)言，許多物理概念和規(guī)律都要以數(shù)學(xué)形式(公式或圖像)來(lái)表述，也只有利用了數(shù)學(xué)表述，才便于進(jìn)一步運(yùn)用它來(lái)分析、推理、論證，才能廣泛地定量地說(shuō)明問(wèn)題和解決問(wèn)題。
1.用數(shù)學(xué)的方法來(lái)定義物理概念，在此舉例來(lái)說(shuō)明。
在中學(xué)物理中常用到的比值定義法。
所謂比值定義法就是用兩個(gè)基本的物理量的“比”來(lái)定義一個(gè)新的物理量的方法。
比值法定義的基本特點(diǎn)是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變。
如：密度、壓強(qiáng)、速度、加速度，功率、電場(chǎng)強(qiáng)度，電容等物理量的定義。
2.用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)物理公式。
物理學(xué)中常常利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究問(wèn)題，以高中物理“直線運(yùn)動(dòng)”這一章為例，就要用極限概念和圖像研究速度、加速度和位移;用代數(shù)法和三角法研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律和軌跡;用矢量運(yùn)算法則研究位移與速度的合成和分解等。
另外，物理學(xué)中常常運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)物理公式或從基本公式推導(dǎo)出其它關(guān)系式，這樣既可以使學(xué)生獲得新知識(shí)，又可以幫助他們領(lǐng)會(huì)物理知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加深理解。
二、用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題
在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)方法可以分為圖像法、極值法、近似計(jì)算法、微元法等各類(lèi)。
1.圖像法
物理圖像是一種非常形象的數(shù)字語(yǔ)言和工具，利用它可以很好地描述物理過(guò)程，反映物理概念和規(guī)律，推導(dǎo)和驗(yàn)證新的規(guī)律，物理圖像不僅可以使抽象的概念形象化，還可以恰當(dāng)?shù)乇硎菊Z(yǔ)言難以表達(dá)的內(nèi)涵，用圖像解物理問(wèn)題，不但迅速、直觀，還可以避免復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程。
2.極值法
極值法是在物理模型的基礎(chǔ)上借助數(shù)學(xué)手段和方法，從數(shù)學(xué)的極值法角度進(jìn)行分析、歸納的數(shù)學(xué)處理方法。
物理極值問(wèn)題的討論中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法，二次函數(shù)的極值法，一元二次方程的判別式法等。
3.微元法
微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。
它是將研究對(duì)象(物體或物理過(guò)程)進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即“元過(guò)程”，進(jìn)行討論，每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的。
對(duì)這些“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。
如：用微元法推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間關(guān)系。
做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，其速度與時(shí)間圖線下面四邊形的面積可以表示其位移。
這一結(jié)論的得出就需要用微元法思想。
三、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來(lái)分析、解決物理問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意的一些問(wèn)題
1.物理公式中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，一定要使學(xué)生弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問(wèn)題。
2.表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式都有自己的適應(yīng)條件，在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題時(shí)，一定要使學(xué)生弄清物理公式的適用條件和應(yīng)用范圍。
例如，真空中庫(kù)侖定律的公式只適用于兩個(gè)相對(duì)靜止的點(diǎn)電荷。
由此可見(jiàn)，求得數(shù)學(xué)的解后，再?gòu)奈锢淼慕嵌冗M(jìn)行討論分析，把數(shù)學(xué)的解還原成符合實(shí)際的物理的解這一過(guò)程，是十分重要的，這也是解題過(guò)程中最容易疏漏的地方。
“它山之石，可以攻玉”。
在現(xiàn)階段大力提倡學(xué)生綜合能力的時(shí)代浪潮中，強(qiáng)調(diào)在物理教學(xué)中有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，能很好地培養(yǎng)學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。
也可將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于物理教學(xué)作為現(xiàn)階段各科知識(shí)大綜合的演練平臺(tái)，為提高學(xué)生的綜合能力推波助瀾。
數(shù)學(xué)方法在高中物理中的運(yùn)用【3】
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法 高中物理 物理規(guī)律 解題能力
物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門(mén)學(xué)科，數(shù)學(xué)思想方法是解決物理問(wèn)題的重要工具，在高中物理中時(shí)常存在數(shù)學(xué)方法的影子。
學(xué)生在解題的過(guò)程中，除面對(duì)物理知識(shí)的考查和理解外，可能也面臨著數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的考驗(yàn)，而有時(shí)數(shù)學(xué)方法的使用對(duì)問(wèn)題的解決起到關(guān)鍵的作用。
本文就高中物理解題中用到的典型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納。
一、正余弦函數(shù)在高中物理中的應(yīng)用
(2012安徽理綜)圖1是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖。
在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動(dòng)的金屬環(huán)相連接，金屬環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動(dòng)接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。
圖2是線圈的主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用他們的橫截面積來(lái)表示。
已知ab長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，bc長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。
(只考慮單匝線圈)
1.線圈平面處于中性面位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，試推導(dǎo)t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e1的表達(dá)式;
2.線圈平面處于與中性面成φ0夾角位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，如圖3所示，試寫(xiě)出t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e2的表達(dá)式;
3.若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。
(其他電阻均不計(jì))
【分析與解答】
1.(如圖4)線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有ab和cd切割磁感線，設(shè)ab、cd的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v，則v=ω。
在t時(shí)刻，導(dǎo)線ab和cd因?yàn)榍懈畲鸥芯�產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同，大小均為E1=BL1v2。
由圖象可知，v⊥=vsinωt。
整個(gè)線圈在t時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。
2.當(dāng)線圈由圖2位置開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在t時(shí)刻線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e2=BL1L2ω
sin(ωt+φ0)。
3.由閉合電路的歐姆定律，得I=。
E為線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，E==。
線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω()2。
【說(shuō)明】本題考查了交流電流的產(chǎn)生和變化規(guī)律以及交流電路中熱能的計(jì)算，主要運(yùn)用到了數(shù)學(xué)里的正弦函數(shù)來(lái)處理物理問(wèn)題。
不僅正弦交流電的電動(dòng)勢(shì)和電流瞬時(shí)值，機(jī)械振動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系、機(jī)械波波動(dòng)圖象等，這些周期性的復(fù)雜的過(guò)程用正余弦函數(shù)表示卻會(huì)變得非常簡(jiǎn)單明了。
二、不等式法在高中物理中的應(yīng)用
例1：(2010高考理綜)在一次國(guó)際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)。
沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的滑道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中。
設(shè)滑道的水平距離為L(zhǎng)，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)節(jié)(取g=10 m/s2)。
求：
(1)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系;
(2)運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大?對(duì)應(yīng)的最大水平距離SBH為多少?
(3)若H=4m，L=5m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，則水平運(yùn)動(dòng)距離要達(dá)到7m，h值應(yīng)為多少?
【分析與解答】
【說(shuō)明】很明顯，在第二問(wèn)中就用到了不等式求極值的方法，而第二步的結(jié)論又直接影響到了第三問(wèn)的解答，所以數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用是本題的一個(gè)難點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的重要性。
例2：(2012廣東理綜，36)圖5所示的裝置中，小物塊A、B質(zhì)量均為m，水平面上PQ段長(zhǎng)為l，與物塊間的動(dòng)摩擦因素為u，其余段光滑。
初始時(shí)，擋板上的輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng);長(zhǎng)為r的連桿位于圖中虛線位置;A緊靠滑桿(A、B間距大于2r)。
隨后，連桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑桿做水平運(yùn)動(dòng)，滑桿的速度―時(shí)間圖象如圖6所示。
A在滑桿推動(dòng)下運(yùn)動(dòng)，并在脫離滑桿后與靜止的B發(fā)生完全非彈性碰撞。
(1)求A脫離滑桿時(shí)的速度v0及A和B碰撞過(guò)程的機(jī)械能損失ΔE。
(2)如果AB不能與彈簧相碰，設(shè)AB從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到停止所用的時(shí)間為t1，求ω的取值范圍，及t1與ω的關(guān)系式。
(3)如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點(diǎn)左側(cè)，設(shè)每次壓縮彈簧過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為Ep，求ω的取值范圍，及Ep與ω的關(guān)系式(彈簧始終在彈性限度內(nèi))。
【分析解答】
【說(shuō)明】本題是一道很典型物理問(wèn)題與不等式結(jié)合的題目，主要在臨界情況應(yīng)用不等式極值。
不等式不僅在運(yùn)動(dòng)學(xué)題目中應(yīng)用廣泛，在電學(xué)題目中也占有很大的比重。
有時(shí)不等式不僅用于求解物理量的范圍，還在分析物理的動(dòng)力學(xué)過(guò)程中起著重要作用。
例3：在豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析。
物體在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的變速曲線運(yùn)動(dòng)，該類(lèi)運(yùn)動(dòng)常有臨界問(wèn)題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語(yǔ)，常分析兩種模型――輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示：
【說(shuō)明】由以上例子可見(jiàn)不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，可見(jiàn)不等式與物理的結(jié)合能力也是學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)必不可少的。
三、極值法在高中物理中的應(yīng)用
例1：一輛汽車(chē)在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛。
恰在這時(shí)一輛自行車(chē)以6m/s的速度勻速駛來(lái)，從后邊趕過(guò)汽車(chē)。
汽車(chē)從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車(chē)之前過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距最遠(yuǎn)?此時(shí)距離是多少?
【分析與解答】
經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，自行車(chē)做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為s1=vt①
汽車(chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為s2=at2② 兩車(chē)相距為：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③
因?yàn)樯鲜绞且粋�(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，因二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故Δs有最大值。
當(dāng)t=-==2s時(shí)④
Δs有最大值。
例2：如圖7所示，底邊恒定為b，當(dāng)斜面與底邊所成夾角為多大時(shí)，物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時(shí)間最短?
【分析與解答】設(shè)斜面傾角為θ時(shí)，斜面長(zhǎng)為S，物理受力如圖8所示，由圖知
【說(shuō)明】以上兩例分別是利用二次函數(shù)公式求極值、利用三角函數(shù)的有界性求極值。
物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地結(jié)合，為解決物理學(xué)中的極值問(wèn)題提供了方便，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法在處理物理問(wèn)題上的優(yōu)越性。
四、幾何知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用
例1：如圖9所示，在懸點(diǎn)O處用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩拉著質(zhì)量為m的小球，小球在半徑為R的光滑半球面靜止，已知懸點(diǎn)離半球面的豎直高度為h，試求半球?qū)π∏虻闹С至屠K對(duì)小球的拉力。
【分析與解答】小球的受力如圖五所示，三個(gè)力中任意兩個(gè)力都不垂直，且三個(gè)力構(gòu)成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各邊長(zhǎng)度已知。
說(shuō)明：由于三個(gè)力構(gòu)成的三角形各角都是未知的，所以三角形邊角關(guān)系法、正交分解法均不適用于此題，但是，ΔO′OA中各邊長(zhǎng)度已知，所以運(yùn)用相似三角形法可將問(wèn)題解決。
例2：房?jī)?nèi)高處有白熾燈S(點(diǎn)光源)，如果在S所在位置沿著垂直墻壁BC的方向扔出一個(gè)小球A，如圖11所示，請(qǐng)描述A在BC上的影子沿著B(niǎo)C的運(yùn)動(dòng)情況。
由于影子的高度H′與時(shí)間的一次方成正比，所以影子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
【說(shuō)明】本題解題的關(guān)鍵是畫(huà)出光路圖，在幾何關(guān)系中找準(zhǔn)關(guān)系，然后應(yīng)用物理規(guī)律解決，光學(xué)中的絕大多數(shù)題目都不可避免地要應(yīng)用幾何知識(shí)，本題就是一個(gè)典型的例子。
五、數(shù)列知識(shí)、比例法在高中物理中的應(yīng)用
例1：(2011重慶理綜，25)某儀器用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來(lái)控制電子材料表面上方的運(yùn)動(dòng)，如圖所示，材料表面上方矩形區(qū)域PP′N′N充滿(mǎn)豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，寬度為d;矩形區(qū)域NN′M′M充滿(mǎn)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，廠為3s，寬為s;NN′為磁場(chǎng)和電場(chǎng)之前的薄隔離層。
一個(gè)電荷量為e、質(zhì)量為m、初速度為零的電子，從P點(diǎn)開(kāi)始被電場(chǎng)加速經(jīng)隔離層垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，電子每次穿越隔離層，運(yùn)動(dòng)方向不變，其動(dòng)能損失是每次穿越前動(dòng)能的10%，最后電子僅能從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出。
不計(jì)電子所受重力。
(1)求電子第二次與第一次圓周運(yùn)動(dòng)半徑之比;
(2)求電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍;
(3)A是M′N′的中點(diǎn)，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。
【分析與解答】
(1)設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圓周運(yùn)動(dòng)速率分別為v1和v2，動(dòng)能分別為Ek1和Ek2。
【說(shuō)明】該題主要考查帶電粒子在分離的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，輔助考查在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題。
本題的解答運(yùn)用到了數(shù)列知識(shí)和不等式的知識(shí)。
在習(xí)題教學(xué)中運(yùn)用數(shù)列法解題時(shí)，必須根據(jù)物理原理，先確定其中某幾項(xiàng)(前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng))，然后用遞推的方法找出其通用公式，確定物理規(guī)律。
涉及數(shù)列知識(shí)的題目多數(shù)在直線運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)，復(fù)雜的但有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)或者動(dòng)量中多次碰撞的情況也涉及數(shù)列知識(shí)。
例2：列車(chē)從車(chē)站出發(fā)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一位旅客站在站臺(tái)上列車(chē)的最前端，測(cè)得第一節(jié)車(chē)廂經(jīng)過(guò)他身旁的時(shí)間是3秒，假設(shè)各節(jié)車(chē)廂長(zhǎng)度相同且不計(jì)車(chē)廂連接處的長(zhǎng)度，則第9節(jié)車(chē)廂經(jīng)過(guò)他身旁需要多少時(shí)間?
【說(shuō)明】本題按照常規(guī)的解法計(jì)算會(huì)相當(dāng)麻煩，但是利用比例的方法就能很簡(jiǎn)單地解決，這就要求學(xué)生具有對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)的深刻觀察力和善于利用比例的能力。
教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用無(wú)論是過(guò)去、現(xiàn)在還是將來(lái)都扮演著十分重要的角色。
在處理物理問(wèn)題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)工具的作用，則對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力起到積極的作用。
總之，在物理教學(xué)中有效地利用數(shù)學(xué)，數(shù)理結(jié)合，能提升高中物理教學(xué)的有效性。
因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)從分析物理現(xiàn)象著手，把物理、數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。
【數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)的應(yīng)用】相關(guān)文章：
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