解讀高中數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)
抽象函數(shù)問題是高中函數(shù)中的一類綜合性比較強(qiáng)的問題，學(xué)生往往感到無從下手。解決這類問題要求學(xué)生抽象思維能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力較強(qiáng)，但是，教師只要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握所學(xué)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分清是哪一類函數(shù)的抽象，可以優(yōu)化思路，使問題難度降低，從而得以解決。以下是小編整理的解讀高中數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)，歡迎閱讀。
解讀高中數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)
下面舉例說明:
形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數(shù))
思路:看作 一次函數(shù)的抽象，聯(lián)想一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。特例:m=0時(shí)，聯(lián)想過原點(diǎn)的直線。
例1.函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)證明:設(shè)x10，
∵x>0時(shí)，f(x)>1
∴f(x2-x1)>1，
∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5，∴f(2)=3.
又f(x)是R上的增函數(shù)，
∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)
∴f(x)是R上的增函數(shù).∴f(3m2-m-2)<3
f(3m2-m-2)
3m2-m-2<2 -1
解得不等式解集為{m|-1
點(diǎn)評(píng) 1.回歸定義，充分運(yùn)用已知條件:x>0時(shí)，f(x)>0 △x=x2-x1>0，f(x2-x1)>1
2.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想:運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的不等式。
思路:聯(lián)想冪的運(yùn)算性質(zhì)，可看作指數(shù)函數(shù)的抽象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題。
抽象函數(shù)問題，需要綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，對(duì)稱性等性質(zhì)，應(yīng)用分析，邏輯推理，聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思想方法。
常見題型有:
①求抽象函數(shù)的某一函數(shù)值:根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，用賦值法。
�、谂�(證)抽象函數(shù)的單調(diào)性:類比所學(xué)具體函數(shù)，充分運(yùn)用已知條件，對(duì)變量合理賦值。
�、劢怅P(guān)于抽象函數(shù)的不等式:一看定義域，一看單調(diào)性。
只要掌握相應(yīng)的解題策略，問題便會(huì)化難為易，迎刃而解。
抽象函數(shù)解析
一、求抽象函數(shù)的定義域
1. 若已知函數(shù)f [g(x)]的定義域?yàn)閤∈(a，b)，求函數(shù)f(x)。
解決這類問題的方法是：利用a 例1. 已知函數(shù)f(x+1)的定義域是[-2，3]，求y=f(x)的定義域。
解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定義域是[-1，4]
2. 若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤∈(a，b)，求f [g(x)]函數(shù)的定義域。
解決這類問題的方法是：a 例2. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1]，求函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1]
所以0 由于- 所以不等式組(Ⅰ)的解為-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函數(shù)的周期性和奇偶性
1. 抽象函數(shù)的周期性
例3. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+2)，且當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，f(x)=x2+2x，
求當(dāng)x∈(3，5]時(shí)，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)
設(shè)x∈(3，5]時(shí)，則-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 評(píng)注：若對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意，恒有下列條件之一成立(以下式子分母不為零，a≠0)
�、賔(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
則函數(shù)f(x)是以2a為周期的周期函數(shù)①
2. 抽象函數(shù)的奇偶性
奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，有時(shí)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，也往往需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或運(yùn)用定義的等價(jià)形式，但對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構(gòu)造出定義的形式。
例4. 已知定義在上的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，則有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)這說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。
三、抽象函數(shù)圖像的對(duì)稱變換
結(jié)論1：①函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;
�、诤瘮�(shù)y=-f(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱;
�、酆瘮�(shù)y=-f(-x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱;
�、芎瘮�(shù)y=f-1(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。
結(jié)論2：若對(duì)定義域內(nèi)的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱。
結(jié)論3：函數(shù)y=f(x+a)與y=f(-x+b)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(a，b為常數(shù))。
例5. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關(guān)于( )
A. 直線y=0對(duì)稱 B. 直線x=0對(duì)稱
C. 直線y=1對(duì)稱 D. 直線x=1對(duì)稱
錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x-1)=f(1-x)，所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱，故選擇B。
錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的原因是將兩個(gè)不同的對(duì)稱問題混為一談，即將兩個(gè)不同函數(shù)圖像的對(duì)稱問題，錯(cuò)誤地當(dāng)成一個(gè)函數(shù)的圖像對(duì)稱問題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。
正解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，而y=f(x-1)的圖像是y=f(x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的圖像是y=f(-x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的，又因?yàn)閒(x)與f(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因此函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故應(yīng)該選擇D。
四、求抽象函數(shù)的解析式
解決抽象函數(shù)解析式的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)f(x)。通常采取賦值法，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過合理運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函數(shù)f(x)的解析式。
解：令a=0，則 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
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